Folgt man den in der Vorlesung besprochenen Vorschriften, so
ist die Berechnung der Stammfunktion das einzige potentielle
Problem. Der Integrand ist bekanntlich die Quadratwurzel aus der
Summe der Quadrate der Ableitungen der einzelnen Koordinaten nach
dem Kurvenparameter. Die Beispiele sind so gewählt, daß die
Quadratwurzel explizit gezogen werden kann, d. h., der Integrand
kann zu einem Ausdruck vereinfacht werden, der keine
Quadratwurzelfunktion mehr enthält. Fall A ist dabei ziemlich einfach.
In Fall B ist der Integrand die Quadratwurzel aus einem
Polynom zweiter Ordnung in t. Diesem sieht man durch
Vergleich mit dem binomischen Lehrsatz sofort an, daß es sich um
das Quadrat eines linearen Polynomes handelt, zB
4t2-6t+9=(2t-3)2
Zu beachten ist nun, daß wirklich die (nichtnegative)
Quadratwurzel integriert wird, die mit dem Betrag des linearen
Polynomes übereinstimmt, und nicht etwa das lineare Polynom
selbst, wenn dieses Vorzeichenwechsel im Integralsintervall
hat. Im obigen Fall würde man also
∫12|2t-3|⋅dt=1/2
für die Länge des mit 1≤t≤2 parametrisierten Bogenstückes
erhalten, und nicht etwa
∫12(2t-3)⋅dt=0.
In Fall C erhält man einen Integranden der Form
1/(a⋅sin(φ)+b⋅cos(φ))^2. Hierfür bietet sich die
in der Vorlesung besprochene Substitution t=tan(φ) an,
die in diesem Fall leichter zum Ziel führt als die
Standard-Substitution t=tan(φ/2).
Fall D ist ähnlich wie Fall B, allerdings ist jetzt die
Quadratwurzel aus einem Polynom vierten Grades zu ziehen, welches
das Quadrat eines Polynomes vom Grad zwei ist. Wie man das macht,
wird in der Vorlesung noch erklärt werden. Bis dahin wird dieser
Typ nicht gestellt.
Natürlich muß man auch in diesem Fall eventuelle Vorzeichenwechsel
des quadratischen Polynomes berücksichtigen müssen, was
komplizierter wäre als in Fall B. Wenn der Dozent bei der Auswahl
der Aufgaben keine besonders sadistischen Tendenzen entwickelt,
wird er diese möglicherweise so vornehmen, daß das quadratische
Polynom auf ganz R nicht das Vorzeichen wechselt.